Pfaffsche Form

Definition der Pfaffschen Form

Die Pfaffsche Form $\backslash vec\; w$, auch Differentialform 1. Ordnung genannt, ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Sie ordnet jedem Punkt $\backslash vec\; p$ aus einer offenen Menge $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$ einen Cotangentialvektor $\backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right)$ zu. Das heißt:

Ein Cotangentialvektor $\backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right)$ ist eine lineare Abbildung, welche die Elemente $\backslash vec\; v$ des Tangentialvektorraums $T\_\backslash vec\; p\backslash left(\; U\; \backslash right)$ auf Punkte $\backslash left\backslash langle\; \backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right),\; \backslash vec\; v\backslash right\backslash rangle\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ abbildet.

Der Tangentialvektorraum $T\_\backslash vec\; p\backslash left(\; U\; \backslash right)$ bezeichnet die Menge aller Vektoren $\backslash vec\; v$, die Tangentenvektoren von in U liegenden, stetig differenzierbaren Kurven am Punkt $\backslash vec\; p$ sind.

Da jeder beliebige Vektor $\backslash vec\; v\backslash varepsilon\backslash mathbb\{R\}^n$ Tangentialvektor am Punkt $\backslash vec\; p$ der stetig differenzierbaren Kurve $\backslash vec\; \backslash phi\backslash left(\; t\; \backslash right)=\backslash vec\; p+t\backslash vec\; v$ ist, gilt $T\_\backslash vec\; p\backslash left(\; U\; \backslash right)=\backslash mathbb\{R\}^n$. Die Existenz der Kurve $\backslash vec\; \backslash phi$ in $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$ ergibt sich daraus, dass $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$ eine offene Menge ist.

Die Menge der Cotangentialvektoren $\backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right)$ bildet einen Vektorraum mit derselben Dimension wie der Tangentialvektorraum$T\_\backslash vec\; p\backslash left(\; U\; \backslash right)$. Der Begriff Cotangentialvektorraum $T^*\_\backslash vec\; p\backslash left(\; U\; \backslash right)$ bezeichnet deshalb die Menge der linearen Abbildungen $\backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right)$. Die Vereinigung aller Cotangentialvektorräume über der Teilmenge U stellt den Bildraum der Pfaffschen Form dar.

Koordinaten-Darstellung

Für jede Pfaffsche Form existiert eine Koordinaten-Darstellung:

$\backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right)=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; f\_i\backslash left(\; \backslash vec\; p\; \backslash right)\backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i\backslash left(\; \backslash vec\; p\; \backslash right)$ für alle $\backslash vec\; p\backslash varepsilon\; U$ bzw.

Die Funktionen $f\_i$ sind beliebige Abbildungen aus der offenen Menge $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$ in den Körper der reellen Zahlen $\backslash mathbb\{R\}$, d.h. $f\_i\backslash left(\; \backslash vec\; p\; \backslash right)\backslash varepsilon\backslash mathbb\{R\}$.

Die Differentiale $\backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right)$ stellen jeweils Basisvektoren des Cotangentialvektorraums $T^*\_\backslash vec\; p\backslash left(\; U\; \backslash right)$ dar. Deshalb lässt sich jede Pfaffsche Form $\backslash vec\; w$ als Entwicklung der Differentiale $\backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i$ darstellen, d.h. für jede Pfaffsche Form existiert genau eine Koordinatendarstellung.

Die Basisvektoren $\backslash vec\; e\_1$, ...,$\backslash vec\; e\_n$ seien eine normierte Basis des Tangentialvektorraums $T\_\backslash vec\; p\backslash left(\; U\; \backslash right)$. Jede der linearen Abbildungen $\backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i$ ist eindeutig durch das Bild der Basisvektoren $\backslash vec\; e\_1$, ...,$\backslash vec\; e\_n$ definiert. Es gilt:

$\backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right)\backslash left\backslash \{\; e\_j\; \backslash right\backslash \}$=$\backslash left\backslash langle\; \backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right),\backslash vec\; e\_j\backslash right\backslash rangle$=$\backslash delta\_\{i,\; j\}$ für alle $\backslash vec\; p\backslash varepsilon\; U$ bzw.

$\backslash delta\_\{i,\; j\}$ repräsentiert das sogenannte Kronecker-Delta

Definition des Kurvenintegrals

Sei $\backslash vec\backslash varphi:\backslash leftLINK\backslash rightarrow\; U$ eine stetig differenzierbare Kurve in $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$, dann ist das Integral der Pfaffschen Form entlang der Kurve $\backslash varphi$ definiert durch:

Es wird vorausgesetzt, dass die Pfaffsche Form w stetig in U ist. Damit entspricht das Integral der Pfaffsche Form dem gewöhnlichen Integral einer stetigen Funktion über dem Interval LINK.

Durch das Kurventintegral wird letztlich die Definition der Pfaffschen Form motiviert.

Die Menge der Ableitungsvektoren $\backslash vec\backslash varphi\text{'}$ bildet den Tangentialvektorraum.

Die Menge der linearen Abbildungen $\backslash left\backslash langle\; \backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\backslash varphi\backslash right),\; \backslash cdot\; \backslash right\backslash rangle$ bildet den Kotangentialvektorraum.

Die Abbildung $\backslash vec\; p\backslash mapsto\; \backslash left\backslash langle\; \backslash vec\; w\backslash left(\backslash vec\; p\backslash right),\; \backslash cdot\; \backslash right\backslash rangle$ wird Pfaffsche Form genannt.

Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals

Parametrisierung einer Kurve

Die stetig differenzierbare Funktion $\backslash vec\backslash varphi:\backslash leftLINK\backslash rightarrow\; U$ stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter $t\; \backslash varepsilon\; \backslash leftLINK$ kann - muss aber nicht - als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt t=a befinde man sich am Ort $\backslash vec\backslash varphi\backslash left(\; a\; \backslash right)$. Dann fahre man entlang einer bestimmten Bahn bzw. Kurve zum Ort $\backslash vec\backslash varphi\backslash left(\; b\; \backslash right)$, d.h. zum Zeitpunkt t=b gelangt man zum Endpunkt $\backslash vec\backslash varphi\backslash left(\; b\; \backslash right)$ der Kurve. Notiert man zu jedem Zeitpunkt t den Ort, an dem man sich beim Überfahren der Kurve befindet, so erhält man die Abbildung $\backslash vec\backslash varphi:\backslash leftLINK\backslash rightarrow\; U$.

Die Bedingung der Stetigkeit hat zur Folge, dass die Kurve keine Lücken aufweist. Die Differenzierbarkeit ist eine notwendige Bedingung, da zur Berechnung des Integrals die Kurve abgeleitet bzw. differenziert werden muss.

Es ist anschaulich klar, dass man auf unterschiedliche Weise dieselbe Kurve überfahren kann. Man könnte mit konstanter Geschwindigkeit die Kurve überfahren. Man könnte aber auch langsam losfahren und immer schneller werden. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung "Kurvenintegral" ist deshalb gerechtfertigt, weil man zeigen kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist. Mit einer Ausnahme: Vertauscht man den Anfangs und Endpunkt der Kurve, d.h. fährt man vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das Vorzeichen (+,-) des Integrals.

Ableitung einer Kurve

Die Ableitung $\backslash vec\backslash varphi\text{'}\backslash left(\; t\; \backslash right)=\{d\backslash vec\backslash varphi\; \backslash over\; dt\}\backslash left(\; t\; \backslash right)$ repräsentiert die Steigung der Kurve am Kurvenpunkt $\backslash vec\; x=\backslash vec\backslash varphi\backslash left(\; t\; \backslash right)$. D.h. die Ableitung stellt einen Tangentenvektor am Kurvenpunkt dar.

Der Tangenten-Einheitsvektor am Punkt $\backslash vec\; x$ ist definiert durch:

Dabei wird vorausgesetzt, dass $\backslash vec\; \backslash varphi\text{'}\; \backslash left(\; t\; \backslash right)\backslash not=\backslash vec\; 0$ ist. Gilt dies für alle t, so wird die Kurve regulär genannt. Man kann auch sagen: Eine Kurve ist genau dann regulär, wenn sie eine stetig differenzierbare Parametrisierung besitzt, deren Ableitung nirgendwo gleich Null ist. Die Norm bzw. Länge $\backslash left\backslash |\; \backslash vec\; \backslash tau\; \backslash right\backslash |$ des Vektors $\backslash vec\; \backslash tau$ ist gleich 1.

Länge der Kurve

Die Länge der Kurve $\backslash vec\backslash varphi$ ist gegeben durch:

Deshalb wird "ds" als Streckenelement oder Bogenelement der Kurve bezeichnet. "dt" stellt kein totales Differentiale dar. Durch dt wird lediglich ausgedrückt, dass über den Kurvenparameter t integriert wird. Die Bezeichnung dt ist motiviert durch die Definition der Partialsummen des Riemann-Integrals.

Kurvenintegral

Für das Kurvenintegral gilt somit:

$\backslash left\backslash langle\; \backslash vec\; w,\; \backslash vec\backslash tau\backslash right\backslash rangle\backslash vec\backslash tau$ stellt die senkrechte Projektion der Form auf den Tangenteneinheitsvektor dar, d.h.:

$\backslash left\backslash langle\; \backslash vec\; w,\; \backslash vec\backslash tau\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left\backslash |\; \backslash vec\; w\; \backslash right\backslash |cos(\backslash vec\; w,\backslash vec\backslash tau)$

Totales Differential

Das (totale) Differential $DF$ einer stetig partiell differenzierbaren Funktion $F:U\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ ist eine Pfaffsche Form bzw. eine Differentialform 1. Ordnung, die jedem Tangentialvektor die Richtungsableitung von F in seiner Richtung zuordnet:

=\frac{\partial F}{\partial\vec v}=F^'(\vec p)(\vec v) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}\left( \vec p \right)v_i

wobei $v\_i=\backslash left\backslash langle\; \{dx\}\_i\backslash left(\backslash vec\; p\; \backslash right),\backslash vec\; v\backslash right\backslash rangle$ die i-te Koordinate von v ist. Da dies für alle $\backslash vec\; p\; \backslash in\; U$ und alle Tangentialvektoren $\backslash vec\; v$ gilt, kann geschrieben werden:

Stammfunktion

Eine stetig differenzierbare Funktion $F:U\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ heißt Stammfunktion der stetigen Pfaffschen Form $\backslash vec\; w$, wenn gilt:

Exakte Pfaffschen Form

Eine Pfaffsche Form ist genau dann exakt, wenn sie eine Stammfunktion besitzt.

Geschlossene Pfaffschen Form

Eine Pfaffsche Form $\backslash vec\; w\; =\backslash sum\_\{i=1\}^n\; f\_i\; \backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i$ ist genau dann geschlossen ist, wenn gilt:

Eine geschlossen Pfaffsche Form muss stetig differenzierbar sein.

Kurvenintegral des totalen Differentials

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials DF gilt:

mit $\backslash vec\; q:=\backslash vec\; \backslash varphi\backslash left(\; b\; \backslash right)$ und $\backslash vec\; p:=\backslash vec\; \backslash varphi\backslash left(\; a\; \backslash right)$

Das Integral des totalen Differentials hängt nicht von der Kurvenform sondern nur vom Anfangspunkt $\backslash vec\; p$ und Endpunkt $\backslash vec\; q$ der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, d.h. $\backslash vec\; p$=$\backslash vec\; q$, ist immer gleich Null. Es gilt somit:

Beweis:

$\backslash int\_\{\backslash vec\; \backslash varphi\}\backslash overrightarrow\; \{\; DF\; \}\; =\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash overrightarrow\; \{\; DF\; \}\backslash left(\backslash vec\backslash varphi\backslash right),\; \backslash vec\backslash varphi\text{'}\backslash right\backslash rangle\; dt$ $=\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{\backslash partial\; F\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}\backslash overrightarrow\; \{dx\}\; \_i\; ,\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash varphi\_j\text{'}\; \backslash vec\; e\_j\backslash right\backslash rangle\; dt$ $=\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash varphi\_j\text{'}\backslash left\backslash langle\; \backslash overrightarrow\; \{dx\}\; \_i,\; \backslash vec\; e\_j\; \backslash right\backslash rangle\; dt$ $=\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash varphi\_j\text{'}\; \backslash delta\_\{i,j\}\; dt$ $=\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash varphi\_i\text{'}\; dt$

Durch Anwendung der Kettenregel erhält man:

Aus dem Fundamentalsatz der Analysis folgt nun die Behauptung.

Der obige Satz kann als eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes verstanden werden. Ist die Pfaffsche Form über der offenen Menge $U\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^1$ definiert, so entspricht der Satz dem Fundamentalsatz der Analysis.

Existenz der Stammfunktion

Satz 1

Jede exakte Pfaffsche Form ist geschlossen. Eine Pfaffsche Form besitzt nur dann eine Stammfunktion, wenn sie geschlossen ist. Geschlossenheit ist eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für die Existenz einer Stammfunktion. Nicht jede geschlossene Pfaffsche Form ist exakt.

Beweis:

Besitzt w eine Stammfunktion F, so gilt:

$\backslash vec\; w\; =\backslash sum\_\{i=1\}^n\; f\_i\; \backslash overrightarrow\; \{dx\}\_i\; =\; \backslash overrightarrow\; \{DF\}=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{\backslash partial\; F\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}\backslash overrightarrow\; \{dx\}\; \_i$

Die Gleichung ist nur erfüllt, falls:

$f\_i=\; \{\backslash partial\; F\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}$ für alle i

Also gilt:

$\{\backslash partial\; f\_i\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_j\}=\; \{\backslash partial^2\; F\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_j\; \backslash partial\; x\_i\}$

Mit dem Satz von Schwarz folgt nun die Behauptung

$\{\backslash partial\; f\_i\; \backslash over\backslash partial\; x\_j\}=\{\backslash partial\; f\_j\; \backslash over\backslash partial\; x\_i\}$ für alle i,j.

Wird die Definitionsmenge U geeignet gewählt, so ist die geschlossene Pfaffsche Form auch exakt.

Satz 2

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$ besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion.

Insbesondere gilt: In einem sternförmigen Gebiet ist jede geschlossene Pfaffsche Form exakt. (Poincaresches Lemma)

Satz 3

Eine stetige Pfaffsche Form auf einem Gebiet $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn gilt:

Entlang jeder geschlossenen Kurve $\backslash vec\; \backslash varphi$ in U verschwindet das Integral der Pfaffschen Form.

Physikalische Beispiele für Pfaffsche Formen

Erstes Beispiel "Kraftfeld"

Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort $\backslash vec\; r$ ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt $\backslash vec\; r\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^3$ eine Kraftvektor $\backslash vec\; F(\backslash vec\; r)$ zu. Jedem Kraftvektor $\backslash vec\; F(\backslash vec\; r)$ kann eine lineare Abbildung $\backslash left\backslash langle\; \backslash vec\; F,\; \backslash cdot\; \backslash right\backslash rangle$ zugeordnet werden, die mittels des Skalarproduktes $\backslash left\backslash langle\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; \backslash right\backslash rangle$ einen beliebigen Vektor $\backslash vec\; r$ linear auf den Zahlenkörper $\backslash mathbb\{R\}$ abbildet. Aufgrund dieser Interpretation kann das Kraftfeld auch als Pfaffsche Form bzw. Differentialform 1. Ordnung verstanden werden.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei $\backslash vec\; e\_i$ mit i=1,2 oder 3 die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form $\backslash vec\; F$:

$\backslash vec\; F\; =\backslash sum\_\{i=1\}^3\; f\_i\; \backslash vec\; e\_i$.

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges $\backslash vec\backslash varphi:\backslash leftLINK\backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^3$ von einem Ort $\backslash vec\backslash varphi(a)$ zu einem Ort $\backslash vec\backslash varphi(b)$ zu bewegen. Die Größe W der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

$W=\backslash int\_\backslash vec\; \backslash varphi\; \backslash vec\; F=\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash vec\; F,\; \backslash vec\backslash tau\backslash right\backslash rangle\; ds$

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe W der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit.

Die Stammfunktion $V$ eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft $\backslash vec\; F$ genannt. Also stellt das totale Differential des Potentials $V$ wiederum die Kraft $\backslash vec\; F$ dar. Es gilt:

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

Zweites Beispiel "Entropie"

Eine weitere wichtige Anwendung der Theorie der Differentialformen liegt im Bereich der Thermodynamik. Gemäß der Clausiuschen Ungleichung gilt:

$\backslash oint\_c\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash overrightarrow\; \{\backslash delta\; Q\}\; \backslash le\; 0$

$T$ stellt die Temperatur des thermodynamischen Systems und $\backslash delta\; Q$ den Wärmeaustauschkontakt des Systems mit seiner Umgebung dar. Das thermodynamische System kann beispielsweise ein Gas darstellen, dessen unabhängige Zustandsgrößen Temperatur $T$, Druck $P$ und Volumen $V$ des Gases sind. Die Koordinatendarstellung des Wärmeaustauschkontakts ist damit gegeben durch:

$\backslash overrightarrow\; \{\backslash delta\; Q\}\; =\; f\_P*\backslash overrightarrow\; \{dP\}\; +\; f\_V*\backslash overrightarrow\; \{dV\}\; +\; f\_T*\backslash overrightarrow\; \{dT\}$.

Das vorstehende Integral wird entlang eines geschlossenen Weges c im dreidimensionalen Zustandsraum (P,V,T) gebildet. Ein geschlossener Weg c im Zustandsraum wird in der Thermodynamik Kreisprozess genannt.Die Differentialform $\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash overrightarrow\; \{\backslash delta\; Q\}$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn jeder Kreisprozess reversibel ist, d.h.:

$\backslash oint\_c\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash overrightarrow\; \{\backslash delta\; Q\}\_\{rev\}\; =\; 0$

In diesem Fall besitzt die Pfaffsche Form $\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash overrightarrow\; \{\backslash delta\; Q\}\_\{rev\}$ eine Stammfunktion $S$, die Entropie genannt wird. Für reversible Kreisprozesse gilt:

$\backslash overrightarrow\; \{DS\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{T\}\backslash overrightarrow\; \{\backslash delta\; Q\}\_\{rev\}$

1/T stellt einen integrierenden Faktor dar, der aus der Differentialform $\backslash vec\; \{\backslash delta\; Q\}\_\{rev\}$ ein totales Differential $\backslash vec\; \{DS\}$ erzeugt.

Hieraus folgt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:

In einem isolierten System gibt es keinen Wärmeaustausch mit der Umgebung, weshalb gilt $\backslash Delta\; S\; \backslash ge\; 0$. Es folgt aus dem zweite Hauptsatz, dass die Entropie eines isolierten Systems nicht abnehmen kann.